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二次函数解析式综合题求法例举

来源:网络资源        2010-12-20 09:33:54

说两句

  • 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点,也是中考必考内容。本文试以历年中考题为例,说明求二次函数解析式的常用方法,以期对同学们学习有所帮助。

    二次函数常见的表达形式有:

    (1)一般式:

    (2)顶点式:,其中点(m,h)为该二次函数的顶点;

    (3)交点式:,其中点为该二次函数与x轴的交点。

    例1. 已知抛物线经过A,B,C三点,当时,其图象如图1所示。求抛物线的解析式,写出顶点坐标。

    图1

    分析:由图象可知,抛物线经过A(0,2),B(4,0),C(5,-3)三点,因此,可以借助二次函数一般式求出其解析式,再转化为顶点式,求出顶点坐标。

    解:设所求抛物线的解析式为)。由图象可知A,B,C的坐标分别为(0,2),(4,0),(5,-3)。

    解之,得

    抛物线的解析式为

    该抛物线的顶点坐标为

    点评:这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标,需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时,通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意:如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”,那就必须加上自变量的取值范围

    例2. 如图2,有一横截面是抛物线的水渠,水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点,另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点,标杆有1m浸没在水中,露出水面的部分与水面成的夹角(标杆与抛物线的横截面在同一平面内)。以水面所在直线为x轴,过点A垂直于水面的直线为y轴,建立如图2所示的直角坐标系,求该水渠横截面抛物线的解析式(结果保留根号)。

    图2

    分析:要求解析式,必须知道抛物线上交点的坐标。显然,由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点,因此可以用抛物线的顶点式

    解:设AB与x轴交于点C,可知

    过点B作轴于点D

    设所求水渠横截面抛物线的解析式为

    将点B的坐标代入,有。解之,得

    因此,该水渠横截面抛物线的解析式为

    点评:解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标,再根据点的特征选择适当的函数表达式。

    例3. 一条抛物线经过点。求这条抛物线的解析式。

    分析:解析式中的a值已经知道,只需求出的值。已知条件给出了两个点,因此,可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手:这两点关于抛物线的对称轴对称,因此可知对称轴是直线,这样又可以从抛物线的顶点式入手。

    解:抛物线经过点()和

    这条抛物线的对称轴是直线

    设所求抛物线的解析式为

    将点代入,得,解得

    这条抛物线的解析式为,即

    点评:当点M()和N()都是抛物线上的点时,若,则对称轴方程为,这一点很重要也很有用。

    例4. 如图3,在直角坐标系中,以点A为圆心,以为半径的圆与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E。若抛物线经过B,C两点,求抛物线的解析式,并判断点D是否在抛物线上。

    图3

    分析:解题的关键在于求出点B和点C的坐标,因此需要求出线段OB,OC的长,这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上,因而可以根据二次函数的交点式求出其解析式。

    解:由,易得

    。所以点D的坐标为(0,-3)。

    设解析式为,由条件知

    抛物线的解析式为

    时,,所以点D(0,-3)在抛物线上。

    点评:解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要,但要注意坐标的符号。

    最后,留两道题给同学们练习。

    1. 二次函数的图象经过点M(1,-2),N(-1,6)。求二次函数的关系式。 (答案:

    2. 已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式为,线段CM的长为。求这条抛物线的解析式。(答案:

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