2012学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科

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　　2012学年第一学期徐汇区初三年级数学学科

　　期终学习能力诊断卷　  2013、1

　　（时间100分钟  满分150分）

　　考生注意∶

　　1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

　　2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

　　一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

　　【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

　　1．在 中， ， ， ，那么 等于…………（　　）

　　Ａ． ；         Ｂ． ．；          Ｃ． ；         Ｄ． ．

　　2．将抛物线 沿 轴向上平移1个单位后所得抛物线的解析式是 …………（　　）

　　Ａ． ；  Ｂ． ；  Ｃ． ； Ｄ． ．

　　3．坡比等于1∶ 的斜坡的坡角等于 ………………………………………………（　　）

　　Ａ． ；        Ｂ． ；          Ｃ． ；         Ｄ． ．

　　4．关于二次函数 的图像，下列说法正确的是…………………………（    ）．

　　Ａ．开口向下；                        Ｂ．最低点是 ；

　　Ｃ．对称轴是直线 ；               Ｄ．对称轴的右侧部分是上升的．

　　5．如图1， 相交于点 ，下列条件中能判定 ∥ 的是 …………（　　）

　　Ａ． ；        Ｂ． ；

　　Ｃ． ；        Ｄ． ．

　　6．如图2，在 中， ， 垂足为 ，那么下列结论中错误的

　　是………………………………………………………………………………………（　　）

　　Ａ． ；   Ｂ． ；

　　Ｃ． ；       Ｄ． ．

　　二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

　　7．计算：     ▲      ．

　　8．计算：      ▲       ．

　　9．抛物线 与 轴的交点坐标是      ▲         ．

　　10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是 ，那么它们对应高的比是     ▲      ．

　　11．如图3，已知 ∥ ∥ ， ， ，那么     ▲    ．

　　12．点 是线段 上一点， ，点 分别是线段 的中点，那么

　　等于   ▲       ．

　　13．抛物线 过 和 两点 ，那么该抛物线的对称轴是   ▲   ．

　　14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角

　　为 ，那么 =            ．

　　15．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地

　　面的影长为12米，那么旗杆高为 __ ▲    米．

　　16．抛物线 与x轴交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ， ，那么 的值是    ▲     ．

　　17．两个等腰直角三角形 和 的位置如图4所示，

　　点 和点 分别在一直线上， ，

　　， ，点 分别是 、

　　的重心，联结 ，那么     ▲     ．

　　18．在 中， ， ， ，点 是斜边AB的中点，把 绕点 旋转，使得点 落在射线 上，点 落在点 ．那么 的长是_____▲________．

　　三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；

　　满分78分）

　　19．（本题满分10分）

　　抛物线 经过点 、 两点．

　　（1）求抛物线顶点 的坐标；                            （5分）

　　（2）抛物线与 轴的另一交点为 ，求 的面积．      （5分）

　　20.（本题满分10分）

　　如图5，在 中，点 是边 的中点， ， .

　　（1）求 的长；                                        （5分）

　　（2）设 ， = ，求向量 （用向量 、 表示）. （5分）

　　21.（本题满分10分）

　　如图6，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 ∥ 交 于

　　点 .

　　（1）求证： ；                      （5分）

　　（2）如果 ， ， ，求 的长. （5分）

　　22.（本题满分10分）

　　如图7，小岛 正好在深水港口 的东南方向，一艘集装箱货船从港口 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶， 分钟后在 处测得小岛 在它的南偏东 方向，求小岛 离开深水港口 的距离.（精确到 千米）

　　参考数据： ， ， ， ， .

　　23.（本题满分12分）

　　"数学迷"小楠通过从"特殊到一般"的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究.得出结论：如图8，在 中， 的对边分别是 ，如果 ，那么 .

　　下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.

　　已知：如图9，在 中， , .

　　求证： .

　　证明：如图9，延长 到 ，使得 .

　　∴ ，

　　∵ ，

　　∴ ，∵ ，

　　∴ ，又

　　∴ ∽

　　∴ ，即

　　∴

　　根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：

　　已知：如图8，在 中， .

　　求证： .

　　24.（本题满分12分）

　　抛物线 与 轴正半轴交于点 ,与 轴分别交于点 和点 ，

　　且 .

　　（1）求抛物线的解析式；                                         （6分）

　　（2）点 是 轴上一点，当 和 相似时，求点 的坐标.  （6分）

　　25.（本题满分14分）

　　梯形 中， ∥ ， ， ， ， ，

　　点 是边 的中点，点 是边 上的动点.

　　（1）如图10，求梯形 的周长；                              （4分）

　　（2）如图11，联结 ，设 ， （ ＜ ＜ ），求 关于 的关系式及定义域；                                  （4分）

　　（3）如果直线 与直线 交于点 ，当 时，求 的长. （6分）