中考数学：三角形的全等及其应用(4)

　　分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

　　(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．

　　(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．

　　证 延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知

AF=AB+BF=BC+CE．

　　下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，所以

Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，

Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，

　　过G引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以

∠F=∠HEG，

　　则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，

　　即 AE=BC+CE．

　　说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．　　

　　1．如图2-10所示．AD，EF，BC相交于O点，且AO=OD，BO=OC，EO=OF．求证：△AEB≌△DFC．

　　2．如图2-11所示．正三角形ABC中，P，Q，R分别为AB，AC，BC的中点，M为BC上任意一点(不同于R)，且△PMS为正三角形．求证：RM=QS．

　　3．如图2-12所示．P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．

　　4．如图2-13所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：∠BCH=∠ABC．

　　5．如图2-14所示．在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ=45°．求证：PQ=PB+DQ．

　　6．如图2-15所示．过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．

练 习 十

　　所以

　　从而

　　于是

　　从而

　　所以

　　所以

　　所以

　　所以

　　所以

　　做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．

　　由①，②，③

　　利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质．

　　借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题．

　　关于直角三角形有：

　　 2023中考一路陪伴同行，百万名校真题直接下载！>>点击查看