勾股定理在解题中的应用

    勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

a²+b²=c²．

　　勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：

a²+b²=c²

　　那么这个三角形是直角三角形．

　　早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．

　　关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．

　　证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c²，a²，b²．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．

　　过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，

　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

　　所以 S_AEML=b²． ①

　　同理可证 S_BLMD=a²． ②

　　①+②得

S_ABDE=S_AEML+S_BLMD=b²+a²，

　　即 c²=a²+b²．

　　证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，

　　所以

　　AG=GH=HB=AB=c，

　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，

　　因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即

　　化简得 a²+b²=c²．