勾股定理在解题中的应用(2)

证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．

　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面

　　S=S_ABDE+2S_△ABC， ①

　　另一方面

　　S=S_ACGF+S_HGKD+2S_△ABC． ②

　　由①，②

　　所以 c²=a²+b²．

　　关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．

　　定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

　　证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，

　　AB²=AD²+BD²， ①

　　在直角三角形ACD中，

　　AD²=AC²-CD²， ②

　　又

　　BD²=(BC-CD)²， ③

　　②，③代入①得

　　AB²=(AC²-CD²)+(BC-CD)²

　　　=AC²-CD²+BC²+CD²-2BC?CD

　　　=AC²+BC²-2BC?CD，

　　即

　　c²=a²+b²-2a?CD． ④

　　(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，

　　AB²=AD²+BD²， ⑤

　　在直角三角形ACD中，

　　AD²=AC²-CD²， ⑥

　　又

　　BD²=(BC+CD)²， ⑦

　　将⑥，⑦代入⑤得

　　AB²=(AC²-CD²)+(BC+CD)²

　　　=AC²-CD²+BC²+CD²+2BC?CD

　　　=AC²+BC²+2BC?CD，

　　即

　　c²=a²+b²+2a?cd． ⑧

　　综合④，⑧就是我们所需要的结论

　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：

c²=a²+b²．

　　因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．

　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，

　　(1)若c²=a²+b²，则∠C=90°；

　　(2)若c²＜a²+b²，则∠C＜90°；

　　(3)若c²＞a²+b²，则∠C＞90°．

　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．

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