勾股定理在解题中的应用(3)

例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB²=2FG²．

　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF²=2FG²，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．

　　证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

　　所以 AF=AB． ①

　　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以

AG=FG，

　　AF²=AG²+FG²=2FG²． ②

　　由①，②得

AB²=2FG²．

　　说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．

　　例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB²+AC²=2(AM²+BM²)．

　　证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，

　　AB²=AM²+BM²+2BM?MD． ①

　　在△ACM中，

　　AC²=AM²+MC²-2MC?MD． ②

　　①+②，并注意到MB=MC，所以

　　AB²+AC²=2(AM²+BM²)． ③

　　如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为m_a，m_b，m_c，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．

　　推论 △ABC的中线长公式：

　　说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m_a，m_b，m_c分别表示a，b，c边上的中线长．

　　例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

　　分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．

　　证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，

　　2BQ²+2DQ²=4PQ²+BD²． ①

　　在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以

　　在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以

　　将②，③代入①得

　　=4PQ²+BD²，

　　即

AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4PQ²．

　　说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．

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