勾股定理在解题中的应用(4)

例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD²+BE²=AB²+DE²．

　　分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．

　　证 AD²=AC²+CD²，BE²=BC²+CE²，所以

　　AD²+BE²=(AC²+BC²)+(CD²+CE²)=AB²+DE²

　　例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

　　如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：

4(AM²+BN²)=5AB²．

　　分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况――即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．

　　证 连接MN，利用例4的结论，我们有

AM²+BN²=AB²+MN²，

　　所以 4(AM²+BN²)=4AB²+4MN²． ①

　　由于M，N是BC，AC的中点，所以

　　所以 4MN²=AB²． ②

　　由①，②

4(AM²+BN²)=5AB²．

　　说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S_△ACM=S_△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S_△AMN=S_△BMN，从而AB必与MN平行．又S_△ABM=高相同，而S_△ABM=2S_△BMN，所以AB=2MN．

练习十一

　　1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：

　　(1)赵君卿图(图2-27)；

　　(2)项名达图(2-28)；

　　(3)杨作枚图(图2-29)．

　　2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA²+PC²=PB²+PD²．

　　(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)

　　3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：

AF²+BD²+CE²=FB²+DC²+EA²．

　　4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC²+BD²=AD²+BC²．它的逆定理是否成立？证明你的结论．

　　5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：

BC²=AB?BF+AC?CE．

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